Решить 5x^2-9x+32=0

$$5 x ^ { 2 } - 9 x + 32 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10}\approx 0,9+2,364318084i$$

$$x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}\approx 0,9-2,364318084i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-9x+32=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -9 вместо b и 32 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 5\times 32}}{2\times 5}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 5\times 32}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-20\times 32}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-640}}{2\times 5}$$

Прибавьте 81 к -640.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{-559}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из -559.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{559}i}{2\times 5}$$

Число, противоположное -9, равно 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{559}i}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{9±\sqrt{559}i}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{9±\sqrt{559}i}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 9 к i\sqrt{559}.

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{9±\sqrt{559}i}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{559} из 9.

$$x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10} x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-9x+32=0$$

Вычтите 32 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}-9x+32-32=-32$$

Если из 32 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-9x=-32$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-9x}{5}=-\frac{32}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{32}{5}$$

Деление -\frac{9}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{9}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{32}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{32}{5}+\frac{81}{100}$$

Прибавьте -\frac{32}{5} к \frac{81}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=-\frac{559}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=-\frac{559}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{559}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{559}i}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{559}i}{10}$$

Прибавьте \frac{9}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{9+\sqrt{559}i}{10} x=\frac{-\sqrt{559}i+9}{10}$$