Решить 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1,744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0,344030651$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -7 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Прибавьте 49 к 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{7±\sqrt{109}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{109} из 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Деление -\frac{7}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Прибавьте \frac{3}{5} к \frac{49}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Прибавьте \frac{7}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$