Решить 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Найдите x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 24 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -7.

$$a=-15 b=8$$

Перепишите 5x^{2}-7x-24 как \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

Разложите 5x в первом и 8 в второй группе.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и 5x+8=0у.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-7x=24$$

Вычтите 24 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Если из 24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -7 вместо b и -24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Прибавьте 49 к 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Число, противоположное -7, равно 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{7±23}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 7 к 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Разделите 30 на 10.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{7±23}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 23 из 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Привести дробь \frac{-16}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Деление -\frac{7}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{7}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{7}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{7}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Прибавьте \frac{24}{5} к \frac{49}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Прибавьте \frac{7}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$