Решить 5x^2-40x-45=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x - 45 = 0$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=9$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 5.

$$x^{2}-8x-9=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-8 ab=1\left(-9\right)=-9$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -9.

$$1,-9 3,-3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-9=-8 3-3=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -8.

$$a=-9 b=1$$

Перепишите x^{2}-8x-9 как \left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(x-9\right)$$

Вынесите за скобки x в x^{2}-9x.

$$x\left(x-9\right)+x-9$$

Вынесите за скобки общий член x-9, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-9\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-9=0 и x+1=0у.

$$x=9 x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -40 вместо b и -45 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\left(-45\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -45.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600+900}}{2\times 5}$$

Прибавьте 1600 к 900.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{2500}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 2500.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±50}{2\times 5}$$

Число, противоположное -40, равно 40.

$$x=\frac{40±50}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{40±50}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{40±50}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 40 к 50.

$$x=\frac{90}{10}$$

Разделите 90 на 10.

$$x=9$$

Решите уравнение x=\frac{40±50}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 50 из 40.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Разделите -10 на 10.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=9 x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x-45=0$$

Прибавьте 45 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-40x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

Если из -45 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-40x=-\left(-45\right)$$

Вычтите -45 из 0.

$$5x^{2}-40x=45$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=\frac{45}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=\frac{45}{5}$$

Разделите -40 на 5.

$$x^{2}-8x=\frac{45}{5}$$

Разделите 45 на 5.

$$x^{2}-8x=9$$

Деление -8, коэффициент x термина, 2 для получения -4. Затем добавьте квадрат -4 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=9+\left(-4\right)^{2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x^{2}-8x+16=9+16$$

Прибавьте 9 к 16.

$$x^{2}-8x+16=25$$

Коэффициент x^{2}-8x+16. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=25$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Упростите.

$$x-4=5 x-4=-5$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$x=9 x=-1$$