Решить 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -40 вместо b и 85 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Возведите -40 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Прибавьте 1600 к -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Число, противоположное -40, равно 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{40±10i}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 40 к 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Разделите 40+10i на 10.

$$x=4+i$$

Решите уравнение x=\frac{40±10i}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 10i из 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Разделите 40-10i на 10.

$$x=4-i$$

Уравнение решено.

$$x=4+i x=4-i$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Вычтите 85 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Если из 85 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Разделите -40 на 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Разделите -85 на 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Деление -8, коэффициент x термина, 2 для получения -4. Затем добавьте квадрат -4 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Прибавьте -17 к 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Коэффициент x^{2}-8x+16. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Упростите.

$$x-4=i x-4=-i$$

Прибавьте 4 к обеим частям уравнения.

$$x=4+i x=4-i$$