Решить 5x^2-3x-9=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 9 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{3 \sqrt{21} + 3}{10} \approx 1,674772708$$

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}\approx -1,074772708$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-3x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -3 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-9\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -9.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+180}}{2\times 5}$$

Прибавьте 9 к 180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{189}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 189.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{3±3\sqrt{21}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{21} из 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-3x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-3x=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$5x^{2}-3x=9$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{9}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{9}{5}$$

Деление -\frac{3}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{9}{5}+\frac{9}{100}$$

Прибавьте \frac{9}{5} к \frac{9}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{189}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{189}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{189}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{3\sqrt{21}}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{3\sqrt{21}}{10}$$

Прибавьте \frac{3}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+3}{10} x=\frac{3-3\sqrt{21}}{10}$$