Решить 5x^2-3x-2=0

$$5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -10.

$$1,-10 2,-5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -3.

$$a=-5 b=2$$

Перепишите 5x^{2}-3x-2 как \left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(2x-2\right)$$

Разложите 5x в первом и 2 в второй группе.

$$5x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(5x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 5x+2=0у.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -3 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Прибавьте 9 к 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 5}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{3±7}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{3±7}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к 7.

$$x=\frac{10}{10}$$

Разделите 10 на 10.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{3±7}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из 3.

$$x=-\frac{4}{10}$$

Привести дробь \frac{-4}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-3x=-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 0.

$$5x^{2}-3x=2$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=\frac{2}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Деление -\frac{3}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Прибавьте \frac{2}{5} к \frac{9}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Прибавьте \frac{3}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=-\frac{2}{5}$$