Решить 5x^2-20x+15=0

$$5 x ^ { 2 } - 20 x + 15 = 0$$

Найдите x

$$x=1$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-3 b=-1$$

Перепишите x^{2}-4x+3 как \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Разложите x в первом и -1 в второй группе.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x-1=0у.

$$x=3 x=1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -20 вместо b и 15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Возведите -20 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Прибавьте 400 к -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

Число, противоположное -20, равно 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{20±10}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 20 к 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Разделите 30 на 10.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{20±10}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 10 из 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Разделите 10 на 10.

$$x=1$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}-20x+15-15=-15$$

Если из 15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Разделите -20 на 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Разделите -15 на 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Деление -4, коэффициент x термина, 2 для получения -2. Затем добавьте квадрат -2 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Возведите -2 в квадрат.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Прибавьте -3 к 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Коэффициент x^{2}-4x+4. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Упростите.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$x=3 x=1$$