Решить 5x^2-18x+19=0

$$5 x ^ { 2 } - 18 x + 19 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{9+\sqrt{14}i}{5}\approx 1,8+0,748331477i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+9}{5}\approx 1,8-0,748331477i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-18x+19=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -18 вместо b и 19 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

Возведите -18 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-20\times 19}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 19.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-380}}{2\times 5}$$

Прибавьте 324 к -380.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{-56}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из -56.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 5}$$

Число, противоположное -18, равно 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{14}i}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{18±2\sqrt{14}i}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{18±2\sqrt{14}i}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 18 к 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{18+2\sqrt{14}i}{10}$$

Разделите 18+2i\sqrt{14} на 10.

$$x=\frac{9+\sqrt{14}i}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{18±2\sqrt{14}i}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{14} из 18.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+18}{10}$$

Разделите 18-2i\sqrt{14} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+9}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{9+\sqrt{14}i}{5} x=\frac{-\sqrt{14}i+9}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-18x+19=0$$

Вычтите 19 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}-18x+19-19=-19$$

Если из 19 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-18x=-19$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-18x}{5}=-\frac{19}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{19}{5}$$

Деление -\frac{18}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{9}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{9}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{19}{5}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{9}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{19}{5}+\frac{81}{25}$$

Прибавьте -\frac{19}{5} к \frac{81}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{14}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{14}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{\sqrt{14}i}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{\sqrt{14}i}{5}$$

Прибавьте \frac{9}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{9+\sqrt{14}i}{5} x=\frac{-\sqrt{14}i+9}{5}$$