Решить 5x^2+x-7=0

$$5 x ^ { 2 } + x - 7 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{141} - 1}{10} \approx 1,087434209$$

$$x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}\approx -1,287434209$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+x-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 1 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+140}}{2\times 5}$$

Прибавьте 1 к 140.

$$x=\frac{-1±\sqrt{141}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к \sqrt{141}.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±\sqrt{141}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{141} из -1.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10} x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}+x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+x=-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 0.

$$5x^{2}+x=7$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{7}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{7}{5}$$

Деление \frac{1}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{10}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{7}{5}+\frac{1}{100}$$

Прибавьте \frac{7}{5} к \frac{1}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{141}{100}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

Вычтите \frac{1}{10} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{141}-1}{10} x=\frac{-\sqrt{141}-1}{10}$$