Решить 5x^2+x+1=5

$$5 x ^ { 2 } + x + 1 = 5$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Вычтите 5 из 1, чтобы получить -4.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-4 b=5$$

Перепишите 5x^{2}+x-4 как \left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(5x-4\right)$$

Вынесите за скобки x в 5x^{2}-4x.

$$x\left(5x-4\right)+5x-4$$

Вынесите за скобки общий член 5x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-4\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x-4=0 и x+1=0у.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+x+1-5=5-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+x+1-5=0$$

Вычтите 5 из 1.

$$5x^{2}+x-4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 1 вместо b и -4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 5}$$

Прибавьте 1 к 80.

$$x=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 81.

$$x=\frac{-1±9}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-1±9}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±9}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 9.

$$x=\frac{8}{10}$$

Привести дробь \frac{8}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±9}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из -1.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Разделите -10 на 10.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+x+1=5$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+x+1-1=5-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+x=5-1$$

Вычтите 1 из 5.

$$5x^{2}+x=4$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+x}{5}=\frac{4}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{4}{5}$$

Деление \frac{1}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{10}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{4}{5}+\frac{1}{100}$$

Прибавьте \frac{4}{5} к \frac{1}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{81}{100}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{81}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{100}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{9}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{9}{10}$$

Вычтите \frac{1}{10} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{4}{5} x=-1$$