Решить 5x^2+96x-64*108=0

$$5 x ^ { 2 } + 96 x - 64 \times 108 = 0$$

Найдите x

$$x=-48$$

$$x = \frac{144}{5} = 28\frac{4}{5} = 28,8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Перемножьте 64 и 108, чтобы получить 6912.

$$5x^{2}+96x-6912=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-6912. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=96 ab=5\left(-6912\right)=-34560$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -34560.

$$-1,34560 -2,17280 -3,11520 -4,8640 -5,6912 -6,5760 -8,4320 -9,3840 -10,3456 -12,2880 -15,2304 -16,2160 -18,1920 -20,1728 -24,1440 -27,1280 -30,1152 -32,1080 -36,960 -40,864 -45,768 -48,720 -54,640 -60,576 -64,540 -72,480 -80,432 -90,384 -96,360 -108,320 -120,288 -128,270 -135,256 -144,240 -160,216 -180,192$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+34560=34559 -2+17280=17278 -3+11520=11517 -4+8640=8636 -5+6912=6907 -6+5760=5754 -8+4320=4312 -9+3840=3831 -10+3456=3446 -12+2880=2868 -15+2304=2289 -16+2160=2144 -18+1920=1902 -20+1728=1708 -24+1440=1416 -27+1280=1253 -30+1152=1122 -32+1080=1048 -36+960=924 -40+864=824 -45+768=723 -48+720=672 -54+640=586 -60+576=516 -64+540=476 -72+480=408 -80+432=352 -90+384=294 -96+360=264 -108+320=212 -120+288=168 -128+270=142 -135+256=121 -144+240=96 -160+216=56 -180+192=12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 96.

$$a=-144 b=240$$

Перепишите 5x^{2}+96x-6912 как \left(5x^{2}-144x\right)+\left(240x-6912\right).

$$\left(5x^{2}-144x\right)+\left(240x-6912\right)$$

Разложите x в первом и 48 в второй группе.

$$x\left(5x-144\right)+48\left(5x-144\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x-144, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-144\right)\left(x+48\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x-144=0 и x+48=0у.

$$x=\frac{144}{5} x=-48$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Перемножьте 64 и 108, чтобы получить 6912.

$$5x^{2}+96x-6912=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 96 вместо b и -6912 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\times 5\left(-6912\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 96 в квадрат.

$$x=\frac{-96±\sqrt{9216-4\times 5\left(-6912\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-96±\sqrt{9216-20\left(-6912\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -6912.

$$x=\frac{-96±\sqrt{9216+138240}}{2\times 5}$$

Прибавьте 9216 к 138240.

$$x=\frac{-96±\sqrt{147456}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 147456.

$$x=\frac{-96±384}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-96±384}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-96±384}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -96 к 384.

$$x=\frac{288}{10}$$

Привести дробь \frac{288}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{144}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-96±384}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 384 из -96.

$$x=-\frac{480}{10}$$

Разделите -480 на 10.

$$x=-48$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{144}{5} x=-48$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Перемножьте 64 и 108, чтобы получить 6912.

$$5x^{2}+96x-6912=0$$

Прибавьте 6912 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$5x^{2}+96x=6912$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+96x}{5}=\frac{6912}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{96}{5}x=\frac{6912}{5}$$

Деление \frac{96}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{48}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{48}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{96}{5}x+\left(\frac{48}{5}\right)^{2}=\frac{6912}{5}+\left(\frac{48}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{48}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{96}{5}x+\frac{2304}{25}=\frac{6912}{5}+\frac{2304}{25}$$

Прибавьте \frac{6912}{5} к \frac{2304}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{96}{5}x+\frac{2304}{25}=\frac{36864}{25}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{96}{5}x+\frac{2304}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{48}{5}\right)^{2}=\frac{36864}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{48}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36864}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{48}{5}=\frac{192}{5} x+\frac{48}{5}=-\frac{192}{5}$$

Вычтите \frac{48}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{144}{5} x=-48$$