Решить 5x^2+8x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}\approx -0,136675042$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}\approx -1,463324958$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 8 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Возведите 8 в квадрат.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20}}{2\times 5}$$

Прибавьте 64 к -20.

$$x=\frac{-8±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 44.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -8 к 2\sqrt{11}.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-8}{10}$$

Разделите -8+2\sqrt{11} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-8±2\sqrt{11}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{11} из -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-8}{10}$$

Разделите -8-2\sqrt{11} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+8x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+8x=-1$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Деление \frac{8}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{4}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{4}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{4}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{16}{25}$$

Прибавьте -\frac{1}{5} к \frac{16}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{11}{25}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Вычтите \frac{4}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{11}-4}{5} x=\frac{-\sqrt{11}-4}{5}$$