Решить 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Найдите x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -15.

$$-1,15 -3,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 14.

$$a=-1 b=15$$

Перепишите x^{2}+14x-15 как \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

Разложите x в первом и 15 в второй группе.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и x+15=0у.

$$x=1 x=-15$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 70 вместо b и -75 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 70 в квадрат.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Прибавьте 4900 к 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-70±80}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -70 к 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Разделите 10 на 10.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{-70±80}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 80 из -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Разделите -150 на 10.

$$x=-15$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-15$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Прибавьте 75 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Если из -75 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Вычтите -75 из 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Разделите 70 на 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Разделите 75 на 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Деление 14, коэффициент x термина, 2 для получения 7. Затем добавьте квадрат 7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Прибавьте 15 к 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Коэффициент x^{2}+14x+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Упростите.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

$$x=1 x=-15$$