Решить 5x^2+7x=2

$$5 x ^ { 2 } + 7 x = 2$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{89}-7}{10}\approx 0,243398113$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}\approx -1,643398113$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+7x=2$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+7x-2=2-2$$

Если из 2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+7x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 7 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+40}}{2\times 5}$$

Прибавьте 49 к 40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{89}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{89}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±\sqrt{89}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-7}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±\sqrt{89}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{89} из -7.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{89}-7}{10} x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+7x=2$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=\frac{2}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=\frac{2}{5}$$

Разделите \frac{7}{5}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{7}{10}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{10} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{2}{5}+\frac{49}{100}$$

Прибавьте \frac{2}{5} к \frac{49}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{89}{100}$$

Разложите x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{89}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{100}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{89}}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{89}}{10}$$

Вычтите \frac{7}{10} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{89}-7}{10} x=\frac{-\sqrt{89}-7}{10}$$