Решить 5x^2+60x+180=0

$$5 x ^ { 2 } + 60 x + 180 = 0$$

Найдите x

$$x=-6$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 5.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+36. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=12 ab=1\times 36=36$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 12.

$$a=6 b=6$$

Перепишите x^{2}+12x+36 как \left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right).

$$\left(x^{2}+6x\right)+\left(6x+36\right)$$

Разложите x в первом и 6 в второй группе.

$$x\left(x+6\right)+6\left(x+6\right)$$

Вынесите за скобки общий член x+6, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x+6\right)\left(x+6\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(x+6\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: x+6=0.

$$x=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 60 вместо b и 180 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Возведите 60 в квадрат.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 5\times 180}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-20\times 180}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 180.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-3600}}{2\times 5}$$

Прибавьте 3600 к -3600.

$$x=\frac{-60±\sqrt{0}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{60}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Разделите -60 на 10.

$$x=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+60x+180=0$$

Вычтите 180 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+60x+180-180=-180$$

Если из 180 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+60x=-180$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+60x}{5}=-\frac{180}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{60}{5}x=-\frac{180}{5}$$

Разделите 60 на 5.

$$x^{2}+12x=-\frac{180}{5}$$

Разделите -180 на 5.

$$x^{2}+12x=-36$$

Деление 12, коэффициент x термина, 2 для получения 6. Затем добавьте квадрат 6 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-36+6^{2}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x^{2}+12x+36=-36+36$$

Прибавьте -36 к 36.

$$x^{2}+12x+36=0$$

Коэффициент x^{2}+12x+36. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x+6=0 x+6=0$$

Вычтите 6 из обеих частей уравнения.

$$x=-6 x=-6$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=-6$$