Решить 5x^2+4x+3=0

$$5 x ^ { 2 } + 4 x + 3 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}\approx -0,4+0,663324958i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}\approx -0,4-0,663324958i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 4 вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 3}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 3}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60}}{2\times 5}$$

Прибавьте 16 к -60.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-44}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из -44.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{11}i}{10}$$

Разделите -4+2i\sqrt{11} на 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2\sqrt{11}i}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{11} из -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-4}{10}$$

Разделите -4-2i\sqrt{11} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+3=0$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+4x+3-3=-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+4x=-3$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{3}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Разделите \frac{4}{5}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{2}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{2}{5} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{2}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{25}$$

Прибавьте -\frac{3}{5} к \frac{4}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{11}{25}$$

Разложите x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{11}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{11}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{11}i}{5}$$

Вычтите \frac{2}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-2+\sqrt{11}i}{5} x=\frac{-\sqrt{11}i-2}{5}$$