Решить 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 3 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Прибавьте 9 к -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{11} из -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Деление \frac{3}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3}{10}. Затем добавьте квадрат \frac{3}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Прибавьте -\frac{1}{5} к \frac{9}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Вычтите \frac{3}{10} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$