Решить 5x^2+25x-10=0

$$5 x ^ { 2 } + 25 x - 10 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}\approx 0,372281323$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}\approx -5,372281323$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+25x-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 25 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 25 в квадрат.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 5\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-20\left(-10\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -10.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+200}}{2\times 5}$$

Прибавьте 625 к 200.

$$x=\frac{-25±\sqrt{825}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 825.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -25 к 5\sqrt{33}.

$$x=\frac{5\sqrt{33}-25}{10}$$

Разделите -25+5\sqrt{33} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-25±5\sqrt{33}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 5\sqrt{33} из -25.

$$x=\frac{-5\sqrt{33}-25}{10}$$

Разделите -25-5\sqrt{33} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+25x-10=0$$

Прибавьте 10 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}+25x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Если из -10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+25x=-\left(-10\right)$$

Вычтите -10 из 0.

$$5x^{2}+25x=10$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+25x}{5}=\frac{10}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{25}{5}x=\frac{10}{5}$$

Разделите 25 на 5.

$$x^{2}+5x=\frac{10}{5}$$

Разделите 10 на 5.

$$x^{2}+5x=2$$

Деление 5, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=2+\frac{25}{4}$$

Прибавьте 2 к \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{33}{4}$$

Коэффициент x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{33}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{2}$$

Вычтите \frac{5}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{33}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{33}-5}{2}$$