Решить 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx+4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 21.

$$a=1 b=20$$

Перепишите 5x^{2}+21x+4 как \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

Разложите x в первом и 4 в второй группе.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x+1=0 и x+4=0у.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 21 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Возведите 21 в квадрат.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Прибавьте 441 к -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-21±19}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -21 к 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Привести дробь \frac{-2}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-21±19}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 19 из -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Разделите -40 на 10.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Если из 4 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Деление \frac{21}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{21}{10}. Затем добавьте квадрат \frac{21}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Возведите \frac{21}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Прибавьте -\frac{4}{5} к \frac{441}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Упростите.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Вычтите \frac{21}{10} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$