Решить 5x^2+18x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 18 x + 1 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}\approx -0,056440423$$

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}\approx -3,543559577$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 18 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Возведите 18 в квадрат.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 5}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-20}}{2\times 5}$$

Прибавьте 324 к -20.

$$x=\frac{-18±\sqrt{304}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 304.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -18 к 4\sqrt{19}.

$$x=\frac{4\sqrt{19}-18}{10}$$

Разделите -18+4\sqrt{19} на 10.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-18±4\sqrt{19}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{19} из -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{19}-18}{10}$$

Разделите -18-4\sqrt{19} на 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+18x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+18x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+18x=-1$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+18x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Деление \frac{18}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{9}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{9}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{9}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{81}{25}$$

Прибавьте -\frac{1}{5} к \frac{81}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{76}{25}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{76}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{76}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{9}{5}=\frac{2\sqrt{19}}{5} x+\frac{9}{5}=-\frac{2\sqrt{19}}{5}$$

Вычтите \frac{9}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{2\sqrt{19}-9}{5} x=\frac{-2\sqrt{19}-9}{5}$$