Решить 5x^2+16x-16=0

$$5 x ^ { 2 } + 16 x - 16 = 0$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-16. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=16 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 16.

$$a=-4 b=20$$

Перепишите 5x^{2}+16x-16 как \left(5x^{2}-4x\right)+\left(20x-16\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(20x-16\right)$$

Разложите x в первом и 4 в второй группе.

$$x\left(5x-4\right)+4\left(5x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-4\right)\left(x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x-4=0 и x+4=0у.

$$x=\frac{4}{5} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+16x-16=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 16 вместо b и -16 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 16 в квадрат.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+320}}{2\times 5}$$

Прибавьте 256 к 320.

$$x=\frac{-16±\sqrt{576}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 576.

$$x=\frac{-16±24}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-16±24}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±24}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -16 к 24.

$$x=\frac{8}{10}$$

Привести дробь \frac{8}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-16±24}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 24 из -16.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Разделите -40 на 10.

$$x=-4$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4}{5} x=-4$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+16x-16=0$$

Прибавьте 16 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}+16x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Если из -16 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+16x=-\left(-16\right)$$

Вычтите -16 из 0.

$$5x^{2}+16x=16$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+16x}{5}=\frac{16}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x=\frac{16}{5}$$

Деление \frac{16}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{8}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{8}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{8}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{16}{5}+\frac{64}{25}$$

Прибавьте \frac{16}{5} к \frac{64}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{144}{25}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{144}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{8}{5}=\frac{12}{5} x+\frac{8}{5}=-\frac{12}{5}$$

Вычтите \frac{8}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{4}{5} x=-4$$