Решить 5k^2-16k-54=0

$$5 k ^ { 2 } - 16 k - 54 = 0$$

Найдите k

$$k = \frac{\sqrt{334} + 8}{5} \approx 5,255133376$$

$$k=\frac{8-\sqrt{334}}{5}\approx -2,055133376$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5k^{2}-16k-54=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -16 вместо b и -54 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 5\left(-54\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -16 в квадрат.

$$k=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 5\left(-54\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$k=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-20\left(-54\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -54.

$$k=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+1080}}{2\times 5}$$

Прибавьте 256 к 1080.

$$k=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{1336}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 1336.

$$k=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{334}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -16, равно 16.

$$k=\frac{16±2\sqrt{334}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$k=\frac{16±2\sqrt{334}}{10}$$

Решите уравнение k=\frac{16±2\sqrt{334}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 16 к 2\sqrt{334}.

$$k=\frac{2\sqrt{334}+16}{10}$$

Разделите 16+2\sqrt{334} на 10.

$$k=\frac{\sqrt{334}+8}{5}$$

Решите уравнение k=\frac{16±2\sqrt{334}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{334} из 16.

$$k=\frac{16-2\sqrt{334}}{10}$$

Разделите 16-2\sqrt{334} на 10.

$$k=\frac{8-\sqrt{334}}{5}$$

Уравнение решено.

$$k=\frac{\sqrt{334}+8}{5} k=\frac{8-\sqrt{334}}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5k^{2}-16k-54=0$$

Прибавьте 54 к обеим частям уравнения.

$$5k^{2}-16k-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Если из -54 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5k^{2}-16k=-\left(-54\right)$$

Вычтите -54 из 0.

$$5k^{2}-16k=54$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5k^{2}-16k}{5}=\frac{54}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$k^{2}-\frac{16}{5}k=\frac{54}{5}$$

Деление -\frac{16}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{8}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{8}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$k^{2}-\frac{16}{5}k+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{54}{5}+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{8}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$k^{2}-\frac{16}{5}k+\frac{64}{25}=\frac{54}{5}+\frac{64}{25}$$

Прибавьте \frac{54}{5} к \frac{64}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$k^{2}-\frac{16}{5}k+\frac{64}{25}=\frac{334}{25}$$

Коэффициент k^{2}-\frac{16}{5}k+\frac{64}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{334}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(k-\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{334}{25}}$$

Упростите.

$$k-\frac{8}{5}=\frac{\sqrt{334}}{5} k-\frac{8}{5}=-\frac{\sqrt{334}}{5}$$

Прибавьте \frac{8}{5} к обеим частям уравнения.

$$k=\frac{\sqrt{334}+8}{5} k=\frac{8-\sqrt{334}}{5}$$