Решить 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Найдите y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -90 вместо b и 54 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Возведите -90 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Прибавьте 8100 к -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -90, равно 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Решите уравнение y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 90 к 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Разделите 90+6\sqrt{195} на 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Решите уравнение y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 6\sqrt{195} из 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Разделите 90-6\sqrt{195} на 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Уравнение решено.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Вычтите 54 из обеих частей уравнения.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Если из 54 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Разделите -90 на 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Деление -18, коэффициент x термина, 2 для получения -9. Затем добавьте квадрат -9 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Возведите -9 в квадрат.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Прибавьте -\frac{54}{5} к 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Коэффициент y^{2}-18y+81. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Упростите.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$