Решить 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-2184. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-105 b=104$$

Перепишите 5x^{2}-x-2184 как \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

Разложите 5x в первом и 104 в второй группе.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-21, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-21=0 и 5x+104=0у.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -1 вместо b и -2184 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Прибавьте 1 к 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{1±209}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Разделите 210 на 10.

$$x=21$$

Решите уравнение x=\frac{1±209}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 209 из 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Привести дробь \frac{-208}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Прибавьте 2184 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Если из -2184 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Вычтите -2184 из 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Деление -\frac{1}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Прибавьте \frac{2184}{5} к \frac{1}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Прибавьте \frac{1}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$