Решить 5x^2-6x-8=0

$$5 { x }^{ 2 } -6x-8=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{4}{5}=-0,8$$

$$x=2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-8. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-6 ab=5\left(-8\right)=-40$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -6.

$$a=-10 b=4$$

Перепишите 5x^{2}-6x-8 как \left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(4x-8\right)$$

Разложите 5x в первом и 4 в второй группе.

$$5x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-2\right)\left(5x+4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-2=0 и 5x+4=0у.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -6 вместо b и -8 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -6 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 5\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-20\left(-8\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+160}}{2\times 5}$$

Прибавьте 36 к 160.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{196}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 196.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±14}{2\times 5}$$

Число, противоположное -6, равно 6.

$$x=\frac{6±14}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{6±14}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{6±14}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 6 к 14.

$$x=\frac{20}{10}$$

Разделите 20 на 10.

$$x=2$$

Решите уравнение x=\frac{6±14}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 14 из 6.

$$x=-\frac{8}{10}$$

Привести дробь \frac{-8}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-6x-8=0$$

Прибавьте 8 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-6x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Если из -8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-6x=-\left(-8\right)$$

Вычтите -8 из 0.

$$5x^{2}-6x=8$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-6x}{5}=\frac{8}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x=\frac{8}{5}$$

Деление -\frac{6}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{8}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{8}{5}+\frac{9}{25}$$

Прибавьте \frac{8}{5} к \frac{9}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{49}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{49}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{5}=\frac{7}{5} x-\frac{3}{5}=-\frac{7}{5}$$

Прибавьте \frac{3}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=2 x=-\frac{4}{5}$$