Решить 5x^2-4x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } -4x+10 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}\approx 0,4+1,356465997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}\approx 0,4-1,356465997i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -4 вместо b и 10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Возведите -4 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\times 10}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 10.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-200}}{2\times 5}$$

Прибавьте 16 к -200.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-184}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из -184.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

Число, противоположное -4, равно 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 4 к 2i\sqrt{46}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{46}i}{10}$$

Разделите 4+2i\sqrt{46} на 10.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{4±2\sqrt{46}i}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{46} из 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{46}i+4}{10}$$

Разделите 4-2i\sqrt{46} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x+10=0$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}-4x+10-10=-10$$

Если из 10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-4x=-10$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Разделите -10 на 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-2$$

Разделите -\frac{4}{5}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{2}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{2}{5} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{2}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-2+\frac{4}{25}$$

Прибавьте -2 к \frac{4}{25}.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{46}{25}$$

Разложите x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{46}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{46}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{46}i}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{46}i}{5}$$

Прибавьте \frac{2}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{2+\sqrt{46}i}{5} x=\frac{-\sqrt{46}i+2}{5}$$