Решить 5x^2-41x+42

$$5 { x }^{ 2 } -41x+42$$

Разложить на множители

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx+42. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-41 ab=5\times 42=210$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 210.

$$-1,-210 -2,-105 -3,-70 -5,-42 -6,-35 -7,-30 -10,-21 -14,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-210=-211 -2-105=-107 -3-70=-73 -5-42=-47 -6-35=-41 -7-30=-37 -10-21=-31 -14-15=-29$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -41.

$$a=-35 b=-6$$

Перепишите 5x^{2}-41x+42 как \left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Разложите 5x в первом и -6 в второй группе.

$$5x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-41x+42=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Возведите -41 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 5\times 42}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-20\times 42}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 42.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-840}}{2\times 5}$$

Прибавьте 1681 к -840.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{841}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 841.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±29}{2\times 5}$$

Число, противоположное -41, равно 41.

$$x=\frac{41±29}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{41±29}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{41±29}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 41 к 29.

$$x=\frac{70}{10}$$

Разделите 70 на 10.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{41±29}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 29 из 41.

$$x=\frac{12}{10}$$

Привести дробь \frac{12}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{6}{5}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте 7 вместо x_{1} и \frac{6}{5} вместо x_{2}.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\left(x-\frac{6}{5}\right)$$

Вычтите \frac{6}{5} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$5x^{2}-41x+42=5\left(x-7\right)\times \frac{5x-6}{5}$$

Сократите наибольший общий делитель 5 в 5 и 5.

$$5x^{2}-41x+42=\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$

Вычислить

$$\left(x-7\right)\left(5x-6\right)$$