Решить 5x^2-32x=48

$$5 { x }^{ 2 } -32x=48$$

Найдите x

$$x = \frac{4 \sqrt{31} + 16}{5} \approx 7,65421149$$

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}\approx -1,25421149$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-32x=48$$

Вычтите 48 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}-32x-48=48-48$$

Если из 48 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-32x-48=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -32 вместо b и -48 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -32 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 5\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-20\left(-48\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -48.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+960}}{2\times 5}$$

Прибавьте 1024 к 960.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1984}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 1984.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -32, равно 32.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 32 к 8\sqrt{31}.

$$x=\frac{8\sqrt{31}+32}{10}$$

Разделите 32+8\sqrt{31} на 10.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{32±8\sqrt{31}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 8\sqrt{31} из 32.

$$x=\frac{32-8\sqrt{31}}{10}$$

Разделите 32-8\sqrt{31} на 10.

$$x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-32x=48$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-32x}{5}=\frac{48}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x=\frac{48}{5}$$

Деление -\frac{32}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{16}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{16}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{48}{5}+\left(-\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{16}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{48}{5}+\frac{256}{25}$$

Прибавьте \frac{48}{5} к \frac{256}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{496}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{496}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{496}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{16}{5}=\frac{4\sqrt{31}}{5} x-\frac{16}{5}=-\frac{4\sqrt{31}}{5}$$

Прибавьте \frac{16}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{4\sqrt{31}+16}{5} x=\frac{16-4\sqrt{31}}{5}$$