Решить 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-42. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -29.

$$a=-35 b=6$$

Перепишите 5x^{2}-29x-42 как \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

Разложите 5x в первом и 6 в второй группе.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и 5x+6=0у.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -29 вместо b и -42 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -29 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Прибавьте 841 к 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Число, противоположное -29, равно 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{29±41}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 29 к 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Разделите 70 на 10.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{29±41}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 41 из 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Привести дробь \frac{-12}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Прибавьте 42 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Если из -42 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Вычтите -42 из 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Деление -\frac{29}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{29}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{29}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{29}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Прибавьте \frac{42}{5} к \frac{841}{100}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Прибавьте \frac{29}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$