Решить 5x^2-25x-12=0

$$5 { x }^{ 2 } -25x-12=0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx 5,441088234$$

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}\approx -0,441088234$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -25 вместо b и -12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -25 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 5\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-20\left(-12\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -12.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+240}}{2\times 5}$$

Прибавьте 625 к 240.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -25, равно 25.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{25±\sqrt{865}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{25±\sqrt{865}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 25 к \sqrt{865}.

$$x=\frac{\sqrt{865}+25}{10}$$

Разделите 25+\sqrt{865} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{25±\sqrt{865}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{865} из 25.

$$x=\frac{25-\sqrt{865}}{10}$$

Разделите 25-\sqrt{865} на 10.

$$x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-25x-12=0$$

Прибавьте 12 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-25x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Если из -12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-25x=-\left(-12\right)$$

Вычтите -12 из 0.

$$5x^{2}-25x=12$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-25x}{5}=\frac{12}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{25}{5}\right)x=\frac{12}{5}$$

Разделите -25 на 5.

$$x^{2}-5x=\frac{12}{5}$$

Деление -5, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{12}{5}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{12}{5}+\frac{25}{4}$$

Прибавьте \frac{12}{5} к \frac{25}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{173}{20}$$

Коэффициент x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{173}{20}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{173}{20}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{865}}{10} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{865}}{10}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{865}}{10}+\frac{5}{2}$$