Решить 5x^2-16x-185=0

$$5 { x }^{ 2 } -16x-185 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{989} + 8}{5} \approx 7,889674077$$

$$x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}\approx -4,689674077$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-16x-185=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -16 вместо b и -185 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 5\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -16 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 5\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-20\left(-185\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -185.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256+3700}}{2\times 5}$$

Прибавьте 256 к 3700.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{3956}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 3956.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2\sqrt{989}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -16, равно 16.

$$x=\frac{16±2\sqrt{989}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 16 к 2\sqrt{989}.

$$x=\frac{2\sqrt{989}+16}{10}$$

Разделите 16+2\sqrt{989} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{16±2\sqrt{989}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{989} из 16.

$$x=\frac{16-2\sqrt{989}}{10}$$

Разделите 16-2\sqrt{989} на 10.

$$x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5} x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-16x-185=0$$

Прибавьте 185 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-16x-185-\left(-185\right)=-\left(-185\right)$$

Если из -185 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-16x=-\left(-185\right)$$

Вычтите -185 из 0.

$$5x^{2}-16x=185$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-16x}{5}=\frac{185}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x=\frac{185}{5}$$

Разделите 185 на 5.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x=37$$

Деление -\frac{16}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{8}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{8}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}=37+\left(-\frac{8}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{8}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=37+\frac{64}{25}$$

Прибавьте 37 к \frac{64}{25}.

$$x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{989}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{989}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{989}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{8}{5}=\frac{\sqrt{989}}{5} x-\frac{8}{5}=-\frac{\sqrt{989}}{5}$$

Прибавьте \frac{8}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{989}+8}{5} x=\frac{8-\sqrt{989}}{5}$$