Решить 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -12 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Прибавьте 144 к 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

Разделите 12+2\sqrt{71} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{71} из 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

Разделите 12-2\sqrt{71} на 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Деление -\frac{12}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{6}{5}. Затем добавьте квадрат -\frac{6}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{6}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Прибавьте \frac{7}{5} к \frac{36}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Упростите.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Прибавьте \frac{6}{5} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$