Решить 5x^2-113x+430=0

$$5 { x }^{ 2 } -113x+430=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{4169} + 113}{10} \approx 17,756779383$$

$$x = \frac{113 - \sqrt{4169}}{10} \approx 4,843220617$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-113x+430=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -113 вместо b и 430 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-113\right)±\sqrt{\left(-113\right)^{2}-4\times 5\times 430}}{2\times 5}$$

Возведите -113 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-113\right)±\sqrt{12769-4\times 5\times 430}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-113\right)±\sqrt{12769-20\times 430}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 430.

$$x=\frac{-\left(-113\right)±\sqrt{12769-8600}}{2\times 5}$$

Прибавьте 12769 к -8600.

$$x=\frac{-\left(-113\right)±\sqrt{4169}}{2\times 5}$$

Число, противоположное -113, равно 113.

$$x=\frac{113±\sqrt{4169}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{113±\sqrt{4169}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{113±\sqrt{4169}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 113 к \sqrt{4169}.

$$x=\frac{\sqrt{4169}+113}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{113±\sqrt{4169}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{4169} из 113.

$$x=\frac{113-\sqrt{4169}}{10}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{4169}+113}{10} x=\frac{113-\sqrt{4169}}{10}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-113x+430=0$$

Вычтите 430 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}-113x+430-430=-430$$

Если из 430 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-113x=-430$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-113x}{5}=-\frac{430}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}-\frac{113}{5}x=-\frac{430}{5}$$

Разделите -430 на 5.

$$x^{2}-\frac{113}{5}x=-86$$

Деление -\frac{113}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{113}{10}. Затем добавьте квадрат -\frac{113}{10} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{113}{5}x+\left(-\frac{113}{10}\right)^{2}=-86+\left(-\frac{113}{10}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{113}{10} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{113}{5}x+\frac{12769}{100}=-86+\frac{12769}{100}$$

Прибавьте -86 к \frac{12769}{100}.

$$x^{2}-\frac{113}{5}x+\frac{12769}{100}=\frac{4169}{100}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{113}{5}x+\frac{12769}{100}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{113}{10}\right)^{2}=\frac{4169}{100}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{113}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4169}{100}}$$

Упростите.

$$x-\frac{113}{10}=\frac{\sqrt{4169}}{10} x-\frac{113}{10}=-\frac{\sqrt{4169}}{10}$$

Прибавьте \frac{113}{10} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{4169}+113}{10} x=\frac{113-\sqrt{4169}}{10}$$