Решить 5x^2-10x-15=0

$$5 { x }^{ 2 } -10x-15=0$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 5.

$$x^{2}-2x-3=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Единственная такая пара является решением системы.

$$a=-3 b=1$$

Перепишите x^{2}-2x-3 как \left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки x в x^{2}-3x.

$$x\left(x-3\right)+x-3$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+1=0у.

$$x=3 x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, -10 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

Прибавьте 100 к 300.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±20}{2\times 5}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±20}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{10±20}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{10±20}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 20.

$$x=\frac{30}{10}$$

Разделите 30 на 10.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{10±20}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 20 из 10.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Разделите -10 на 10.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-10x-15=0$$

Прибавьте 15 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}-10x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Если из -15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}-10x=-\left(-15\right)$$

Вычтите -15 из 0.

$$5x^{2}-10x=15$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}-10x}{5}=\frac{15}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{5}\right)x=\frac{15}{5}$$

Разделите -10 на 5.

$$x^{2}-2x=\frac{15}{5}$$

Разделите 15 на 5.

$$x^{2}-2x=3$$

Деление -2, коэффициент x термина, 2 для получения -1. Затем добавьте квадрат -1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-2x+1=3+1$$

Прибавьте 3 к 1.

$$x^{2}-2x+1=4$$

Коэффициент x^{2}-2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=4$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Упростите.

$$x-1=2 x-1=-2$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x=3 x=-1$$