Решить 5x^2+5x+9=0

$$5 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5+1,24498996i$$

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,24498996i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 5 вместо b и 9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 5\times 9}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-20\times 9}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-180}}{2\times 5}$$

Прибавьте 25 к -180.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-155}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из -155.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к i\sqrt{155}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{155}i}{10}$$

Разделите -5+i\sqrt{155} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±\sqrt{155}i}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{155} из -5.

$$x=\frac{-\sqrt{155}i-5}{10}$$

Разделите -5-i\sqrt{155} на 10.

$$x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+5x+9=0$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+5x+9-9=-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+5x=-9$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+5x}{5}=-\frac{9}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{5}{5}x=-\frac{9}{5}$$

Разделите 5 на 5.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{5}$$

Разделите 1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{5}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{5}+\frac{1}{4}$$

Прибавьте -\frac{9}{5} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{20}$$

Разложите x^{2}+x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{20}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{20}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{155}i}{10} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{155}i}{10}$$

Вычтите \frac{1}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{155}i}{10}-\frac{1}{2}$$