Решить 5x^2+32x+10=0

$$5 { x }^{ 2 } +32x+10=0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}\approx -0.329459981$$

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}\approx -6.070540019$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 32 вместо b и 10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Возведите 32 в квадрат.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 5\times 10}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-20\times 10}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на 10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-200}}{2\times 5}$$

Прибавьте 1024 к -200.

$$x=\frac{-32±\sqrt{824}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 824.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -32 к 2\sqrt{206}.

$$x=\frac{2\sqrt{206}-32}{10}$$

Разделите -32+2\sqrt{206} на 10.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-32±2\sqrt{206}}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{206} из -32.

$$x=\frac{-2\sqrt{206}-32}{10}$$

Разделите -32-2\sqrt{206} на 10.

$$x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+32x+10=0$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$5x^{2}+32x+10-10=-10$$

Если из 10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+32x=-10$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+32x}{5}=-\frac{10}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-\frac{10}{5}$$

Разделите -10 на 5.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x=-2$$

Разделите \frac{32}{5}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{16}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{16}{5} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}=-2+\left(\frac{16}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{16}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=-2+\frac{256}{25}$$

Прибавьте -2 к \frac{256}{25}.

$$x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25}=\frac{206}{25}$$

Разложите x^{2}+\frac{32}{5}x+\frac{256}{25} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{206}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{206}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{16}{5}=\frac{\sqrt{206}}{5} x+\frac{16}{5}=-\frac{\sqrt{206}}{5}$$

Вычтите \frac{16}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{206}-16}{5} x=\frac{-\sqrt{206}-16}{5}$$