Решить 5x^2+26x-24=0

$$5 { x }^{ 2 } +26x-24=0$$

Найдите x

$$x=-6$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 5x^{2}+ax+bx-24. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=26 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 26.

$$a=-4 b=30$$

Перепишите 5x^{2}+26x-24 как \left(5x^{2}-4x\right)+\left(30x-24\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(30x-24\right)$$

Разложите x в первом и 6 в второй группе.

$$x\left(5x-4\right)+6\left(5x-4\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x-4, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-4\right)\left(x+6\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x-4=0 и x+6=0у.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+26x-24=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 26 вместо b и -24 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 26 в квадрат.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -24.

$$x=\frac{-26±\sqrt{676+480}}{2\times 5}$$

Прибавьте 676 к 480.

$$x=\frac{-26±\sqrt{1156}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 1156.

$$x=\frac{-26±34}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-26±34}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-26±34}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -26 к 34.

$$x=\frac{8}{10}$$

Привести дробь \frac{8}{10} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{4}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-26±34}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 34 из -26.

$$x=-\frac{60}{10}$$

Разделите -60 на 10.

$$x=-6$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+26x-24=0$$

Прибавьте 24 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}+26x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Если из -24 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+26x=-\left(-24\right)$$

Вычтите -24 из 0.

$$5x^{2}+26x=24$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+26x}{5}=\frac{24}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x=\frac{24}{5}$$

Деление \frac{26}{5}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{13}{5}. Затем добавьте квадрат \frac{13}{5} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\left(\frac{13}{5}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(\frac{13}{5}\right)^{2}$$

Возведите \frac{13}{5} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}=\frac{24}{5}+\frac{169}{25}$$

Прибавьте \frac{24}{5} к \frac{169}{25}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}=\frac{289}{25}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{26}{5}x+\frac{169}{25}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{5}\right)^{2}=\frac{289}{25}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{25}}$$

Упростите.

$$x+\frac{13}{5}=\frac{17}{5} x+\frac{13}{5}=-\frac{17}{5}$$

Вычтите \frac{13}{5} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{4}{5} x=-6$$