Решить 5x^2+10x-75=0

$$5 { x }^{ 2 } +10x-75 = 0$$

Найдите x

$$x=-5$$

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 5.

$$x^{2}+2x-15=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -15.

$$-1,15 -3,5$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-3 b=5$$

Перепишите x^{2}+2x-15 как \left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(5x-15\right)$$

Разложите x в первом и 5 в второй группе.

$$x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-3=0 и x+5=0у.

$$x=3 x=-5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 5 вместо a, 10 вместо b и -75 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -4 на 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Умножьте -20 на -75.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+1500}}{2\times 5}$$

Прибавьте 100 к 1500.

$$x=\frac{-10±\sqrt{1600}}{2\times 5}$$

Извлеките квадратный корень из 1600.

$$x=\frac{-10±40}{2\times 5}$$

Умножьте 2 на 5.

$$x=\frac{-10±40}{10}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±40}{10} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -10 к 40.

$$x=\frac{30}{10}$$

Разделите 30 на 10.

$$x=3$$

Решите уравнение x=\frac{-10±40}{10} при условии, что ± — минус. Вычтите 40 из -10.

$$x=-\frac{50}{10}$$

Разделите -50 на 10.

$$x=-5$$

Уравнение решено.

$$x=3 x=-5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+10x-75=0$$

Прибавьте 75 к обеим частям уравнения.

$$5x^{2}+10x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Если из -75 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$5x^{2}+10x=-\left(-75\right)$$

Вычтите -75 из 0.

$$5x^{2}+10x=75$$

Разделите обе части на 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{75}{5}$$

Деление на 5 аннулирует операцию умножения на 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{75}{5}$$

Разделите 10 на 5.

$$x^{2}+2x=\frac{75}{5}$$

Разделите 75 на 5.

$$x^{2}+2x=15$$

Деление 2, коэффициент x термина, 2 для получения 1. Затем добавьте квадрат 1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+2x+1^{2}=15+1^{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x^{2}+2x+1=15+1$$

Прибавьте 15 к 1.

$$x^{2}+2x+1=16$$

Коэффициент x^{2}+2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=16$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Упростите.

$$x+1=4 x+1=-4$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x=3 x=-5$$