Решить 49x^2-70x+25=0

$$49 x ^ { 2 } - 70 x + 25 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{5}{7}\approx 0,714285714$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$49x^{2}-70x+25=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 49 вместо a, -70 вместо b и 25 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{\left(-70\right)^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Возведите -70 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Умножьте -4 на 49.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Умножьте -196 на 25.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{4900-4900}}{2\times 49}$$

Прибавьте 4900 к -4900.

$$x=\frac{-\left(-70\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-70}{2\times 49}$$

Число, противоположное -70, равно 70.

$$x=\frac{70}{2\times 49}$$

Умножьте 2 на 49.

$$x=\frac{70}{98}$$

Привести дробь \frac{70}{98} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 14.

$$x=\frac{5}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}-70x+25=0$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$49x^{2}-70x+25-25=-25$$

Если из 25 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$49x^{2}-70x=-25$$

Разделите обе части на 49.

$$\frac{49x^{2}-70x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Деление на 49 аннулирует операцию умножения на 49.

$$x^{2}+\left(-\frac{70}{49}\right)x=-\frac{25}{49}$$

Привести дробь \frac{-70}{49} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 7.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x=-\frac{25}{49}$$

Деление -\frac{10}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{7}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{7} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{-25+25}{49}$$

Прибавьте -\frac{25}{49} к \frac{25}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=0$$

Коэффициент x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{7}=0 x-\frac{5}{7}=0$$

Прибавьте \frac{5}{7} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{7} x=\frac{5}{7}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=\frac{5}{7}$$