Решить 49x^2-42x+9

$$49 x ^ { 2 } - 42 x + 9$$

Разложить на множители

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 49x^{2}+ax+bx+9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-42 ab=49\times 9=441$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 441.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -42.

$$a=-21 b=-21$$

Перепишите 49x^{2}-42x+9 как \left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right).

$$\left(49x^{2}-21x\right)+\left(-21x+9\right)$$

Разложите 7x в первом и -3 в второй группе.

$$7x\left(7x-3\right)-3\left(7x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 7x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(49x^{2}-42x+9)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(49,-42,9)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 49x^{2}.

$$\sqrt{49x^{2}}=7x$$

Найдите квадратный корень последнего члена 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(7x-3\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$49x^{2}-42x+9=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Возведите -42 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 49\times 9}}{2\times 49}$$

Умножьте -4 на 49.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-196\times 9}}{2\times 49}$$

Умножьте -196 на 9.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 49}$$

Прибавьте 1764 к -1764.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±0}{2\times 49}$$

Число, противоположное -42, равно 42.

$$x=\frac{42±0}{2\times 49}$$

Умножьте 2 на 49.

$$x=\frac{42±0}{98}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{3}{7} вместо x_{1} и \frac{3}{7} вместо x_{2}.

$$49x^{2}-42x+9=49\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Вычтите \frac{3}{7} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\left(x-\frac{3}{7}\right)$$

Вычтите \frac{3}{7} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{7x-3}{7}\times \frac{7x-3}{7}$$

Умножьте \frac{7x-3}{7} на \frac{7x-3}{7}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{7\times 7}$$

Умножьте 7 на 7.

$$49x^{2}-42x+9=49\times \frac{\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)}{49}$$

Сократите наибольший общий делитель 49 в 49 и 49.

$$49x^{2}-42x+9=\left(7x-3\right)\left(7x-3\right)$$

Вычислить

$$\left(7x-3\right)^{2}$$