Решить 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 49 вместо a, 30 вместо b и 25 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Возведите 30 в квадрат.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Умножьте -4 на 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Умножьте -196 на 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Прибавьте 900 к -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Извлеките квадратный корень из -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Умножьте 2 на 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Решите уравнение x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -30 к 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Разделите -30+20i\sqrt{10} на 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Решите уравнение x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98} при условии, что ± — минус. Вычтите 20i\sqrt{10} из -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Разделите -30-20i\sqrt{10} на 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Вычтите 25 из обеих частей уравнения.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Если из 25 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Разделите обе части на 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Деление на 49 аннулирует операцию умножения на 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Деление \frac{30}{49}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{15}{49}. Затем добавьте квадрат \frac{15}{49} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Возведите \frac{15}{49} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Прибавьте -\frac{25}{49} к \frac{225}{2401}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Упростите.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Вычтите \frac{15}{49} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$