Решить 49x^2+105x=98

$$49 { x }^{ 2 } +105x = 98$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{617}-15}{14}\approx 0,702820335$$

$$x=\frac{-\sqrt{617}-15}{14}\approx -2,845677478$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$49x^{2}+105x=98$$

Вычтите 98 из обеих частей уравнения.

$$49x^{2}+105x-98=98-98$$

Если из 98 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$49x^{2}+105x-98=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 49 вместо a, 105 вместо b и -98 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-105±\sqrt{105^{2}-4\times 49\left(-98\right)}}{2\times 49}$$

Возведите 105 в квадрат.

$$x=\frac{-105±\sqrt{11025-4\times 49\left(-98\right)}}{2\times 49}$$

Умножьте -4 на 49.

$$x=\frac{-105±\sqrt{11025-196\left(-98\right)}}{2\times 49}$$

Умножьте -196 на -98.

$$x=\frac{-105±\sqrt{11025+19208}}{2\times 49}$$

Прибавьте 11025 к 19208.

$$x=\frac{-105±\sqrt{30233}}{2\times 49}$$

Извлеките квадратный корень из 30233.

$$x=\frac{-105±7\sqrt{617}}{2\times 49}$$

Умножьте 2 на 49.

$$x=\frac{-105±7\sqrt{617}}{98}$$

Решите уравнение x=\frac{-105±7\sqrt{617}}{98} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -105 к 7\sqrt{617}.

$$x=\frac{7\sqrt{617}-105}{98}$$

Разделите -105+7\sqrt{617} на 98.

$$x=\frac{\sqrt{617}-15}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{-105±7\sqrt{617}}{98} при условии, что ± — минус. Вычтите 7\sqrt{617} из -105.

$$x=\frac{-7\sqrt{617}-105}{98}$$

Разделите -105-7\sqrt{617} на 98.

$$x=\frac{-\sqrt{617}-15}{14}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{617}-15}{14} x=\frac{-\sqrt{617}-15}{14}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+105x=98$$

Разделите обе части на 49.

$$\frac{49x^{2}+105x}{49}=\frac{98}{49}$$

Деление на 49 аннулирует операцию умножения на 49.

$$x^{2}+\frac{105}{49}x=\frac{98}{49}$$

Привести дробь \frac{105}{49} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 7.

$$x^{2}+\frac{15}{7}x=\frac{98}{49}$$

Разделите 98 на 49.

$$x^{2}+\frac{15}{7}x=2$$

Деление \frac{15}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{15}{14}. Затем добавьте квадрат \frac{15}{14} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{15}{7}x+\left(\frac{15}{14}\right)^{2}=2+\left(\frac{15}{14}\right)^{2}$$

Возведите \frac{15}{14} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{15}{7}x+\frac{225}{196}=2+\frac{225}{196}$$

Прибавьте 2 к \frac{225}{196}.

$$x^{2}+\frac{15}{7}x+\frac{225}{196}=\frac{617}{196}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{15}{7}x+\frac{225}{196}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{14}\right)^{2}=\frac{617}{196}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{617}{196}}$$

Упростите.

$$x+\frac{15}{14}=\frac{\sqrt{617}}{14} x+\frac{15}{14}=-\frac{\sqrt{617}}{14}$$

Вычтите \frac{15}{14} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{617}-15}{14} x=\frac{-\sqrt{617}-15}{14}$$