Решить 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 42x^{2}+ax+bx-3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-14 b=9$$

Перепишите 42x^{2}-5x-3 как \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Разложите 14x в первом и 3 в второй группе.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-1=0 и 14x+3=0у.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 42 вместо a, -5 вместо b и -3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Умножьте -4 на 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Умножьте -168 на -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Прибавьте 25 к 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Извлеките квадратный корень из 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Умножьте 2 на 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Решите уравнение x=\frac{5±23}{84} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Привести дробь \frac{28}{84} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{5±23}{84} при условии, что ± — минус. Вычтите 23 из 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Привести дробь \frac{-18}{84} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Если из -3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Вычтите -3 из 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Разделите обе части на 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Деление на 42 аннулирует операцию умножения на 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Привести дробь \frac{3}{42} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Деление -\frac{5}{42}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{84}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{84} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{84} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Прибавьте \frac{1}{14} к \frac{25}{7056}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Прибавьте \frac{5}{84} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$