Решить 42x^2+13x-35=0

$$42 x ^ { 2 } + 13 x - 35 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84}\approx 0,771134731$$

$$x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}\approx -1,080658541$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$42x^{2}+13x-35=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 42 вместо a, 13 вместо b и -35 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 42\left(-35\right)}}{2\times 42}$$

Возведите 13 в квадрат.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 42\left(-35\right)}}{2\times 42}$$

Умножьте -4 на 42.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-168\left(-35\right)}}{2\times 42}$$

Умножьте -168 на -35.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+5880}}{2\times 42}$$

Прибавьте 169 к 5880.

$$x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{2\times 42}$$

Умножьте 2 на 42.

$$x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{84}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{84} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -13 к \sqrt{6049}.

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84}$$

Решите уравнение x=\frac{-13±\sqrt{6049}}{84} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{6049} из -13.

$$x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84} x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}+13x-35=0$$

Прибавьте 35 к обеим частям уравнения.

$$42x^{2}+13x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Если из -35 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$42x^{2}+13x=-\left(-35\right)$$

Вычтите -35 из 0.

$$42x^{2}+13x=35$$

Разделите обе части на 42.

$$\frac{42x^{2}+13x}{42}=\frac{35}{42}$$

Деление на 42 аннулирует операцию умножения на 42.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x=\frac{35}{42}$$

Привести дробь \frac{35}{42} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 7.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x=\frac{5}{6}$$

Деление \frac{13}{42}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{13}{84}. Затем добавьте квадрат \frac{13}{84} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x+\left(\frac{13}{84}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{13}{84}\right)^{2}$$

Возведите \frac{13}{84} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x+\frac{169}{7056}=\frac{5}{6}+\frac{169}{7056}$$

Прибавьте \frac{5}{6} к \frac{169}{7056}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{13}{42}x+\frac{169}{7056}=\frac{6049}{7056}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{13}{42}x+\frac{169}{7056}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{84}\right)^{2}=\frac{6049}{7056}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6049}{7056}}$$

Упростите.

$$x+\frac{13}{84}=\frac{\sqrt{6049}}{84} x+\frac{13}{84}=-\frac{\sqrt{6049}}{84}$$

Вычтите \frac{13}{84} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{6049}-13}{84} x=\frac{-\sqrt{6049}-13}{84}$$