Решить 419x^2-918x+459=0

$$419 x ^ { 2 } - 918 x + 459 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{6 \sqrt{510} + 459}{419} \approx 1,418852214$$

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}\approx 0,772078574$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 419 вместо a, -918 вместо b и 459 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{\left(-918\right)^{2}-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Возведите -918 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-4\times 419\times 459}}{2\times 419}$$

Умножьте -4 на 419.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-1676\times 459}}{2\times 419}$$

Умножьте -1676 на 459.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{842724-769284}}{2\times 419}$$

Прибавьте 842724 к -769284.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±\sqrt{73440}}{2\times 419}$$

Извлеките квадратный корень из 73440.

$$x=\frac{-\left(-918\right)±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Число, противоположное -918, равно 918.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{2\times 419}$$

Умножьте 2 на 419.

$$x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838}$$

Решите уравнение x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 918 к 12\sqrt{510}.

$$x=\frac{12\sqrt{510}+918}{838}$$

Разделите 918+12\sqrt{510} на 838.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419}$$

Решите уравнение x=\frac{918±12\sqrt{510}}{838} при условии, что ± — минус. Вычтите 12\sqrt{510} из 918.

$$x=\frac{918-12\sqrt{510}}{838}$$

Разделите 918-12\sqrt{510} на 838.

$$x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$419x^{2}-918x+459=0$$

Вычтите 459 из обеих частей уравнения.

$$419x^{2}-918x+459-459=-459$$

Если из 459 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$419x^{2}-918x=-459$$

Разделите обе части на 419.

$$\frac{419x^{2}-918x}{419}=-\frac{459}{419}$$

Деление на 419 аннулирует операцию умножения на 419.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x=-\frac{459}{419}$$

Деление -\frac{918}{419}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{459}{419}. Затем добавьте квадрат -\frac{459}{419} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}=-\frac{459}{419}+\left(-\frac{459}{419}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{459}{419} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=-\frac{459}{419}+\frac{210681}{175561}$$

Прибавьте -\frac{459}{419} к \frac{210681}{175561}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}=\frac{18360}{175561}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{918}{419}x+\frac{210681}{175561}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}=\frac{18360}{175561}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{459}{419}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18360}{175561}}$$

Упростите.

$$x-\frac{459}{419}=\frac{6\sqrt{510}}{419} x-\frac{459}{419}=-\frac{6\sqrt{510}}{419}$$

Прибавьте \frac{459}{419} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{6\sqrt{510}+459}{419} x=\frac{459-6\sqrt{510}}{419}$$