Решить 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Найдите x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить 2x на 30-2x, используйте свойство дистрибутивности.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Объедините 40x и 60x, чтобы получить 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Вычтите 200 из обеих частей уравнения.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -4 вместо a, 100 вместо b и -200 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Возведите 100 в квадрат.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте -4 на -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 16 на -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Прибавьте 10000 к -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Умножьте 2 на -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Решите уравнение x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -100 к 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Разделите -100+20\sqrt{17} на -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} при условии, что ± — минус. Вычтите 20\sqrt{17} из -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Разделите -100-20\sqrt{17} на -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить 2x на 30-2x, используйте свойство дистрибутивности.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Объедините 40x и 60x, чтобы получить 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Разделите обе части на -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Деление на -4 аннулирует операцию умножения на -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Разделите 100 на -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Разделите 200 на -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Деление -25, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{25}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{25}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{25}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Прибавьте -50 к \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Коэффициент x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Прибавьте \frac{25}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$