Решить 40x^2-71x+21

$$40 { x }^{ 2 } -71x+21$$

Разложить на множители

$$\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 40x^{2}+ax+bx+21. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-71 ab=40\times 21=840$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 840.

$$-1,-840 -2,-420 -3,-280 -4,-210 -5,-168 -6,-140 -7,-120 -8,-105 -10,-84 -12,-70 -14,-60 -15,-56 -20,-42 -21,-40 -24,-35 -28,-30$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-840=-841 -2-420=-422 -3-280=-283 -4-210=-214 -5-168=-173 -6-140=-146 -7-120=-127 -8-105=-113 -10-84=-94 -12-70=-82 -14-60=-74 -15-56=-71 -20-42=-62 -21-40=-61 -24-35=-59 -28-30=-58$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -71.

$$a=-56 b=-15$$

Перепишите 40x^{2}-71x+21 как \left(40x^{2}-56x\right)+\left(-15x+21\right).

$$\left(40x^{2}-56x\right)+\left(-15x+21\right)$$

Разложите 8x в первом и -3 в второй группе.

$$8x\left(5x-7\right)-3\left(5x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$40x^{2}-71x+21=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{\left(-71\right)^{2}-4\times 40\times 21}}{2\times 40}$$

Возведите -71 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{5041-4\times 40\times 21}}{2\times 40}$$

Умножьте -4 на 40.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{5041-160\times 21}}{2\times 40}$$

Умножьте -160 на 21.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{5041-3360}}{2\times 40}$$

Прибавьте 5041 к -3360.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±\sqrt{1681}}{2\times 40}$$

Извлеките квадратный корень из 1681.

$$x=\frac{-\left(-71\right)±41}{2\times 40}$$

Число, противоположное -71, равно 71.

$$x=\frac{71±41}{2\times 40}$$

Умножьте 2 на 40.

$$x=\frac{71±41}{80}$$

Решите уравнение x=\frac{71±41}{80} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 71 к 41.

$$x=\frac{112}{80}$$

Привести дробь \frac{112}{80} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$x=\frac{7}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{71±41}{80} при условии, что ± — минус. Вычтите 41 из 71.

$$x=\frac{30}{80}$$

Привести дробь \frac{30}{80} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$x=\frac{3}{8}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{7}{5} вместо x_{1} и \frac{3}{8} вместо x_{2}.

$$40x^{2}-71x+21=40\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x-\frac{3}{8}\right)$$

Вычтите \frac{7}{5} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{5x-7}{5}\left(x-\frac{3}{8}\right)$$

Вычтите \frac{3}{8} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{5x-7}{5}\times \frac{8x-3}{8}$$

Умножьте \frac{5x-7}{5} на \frac{8x-3}{8}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)}{5\times 8}$$

Умножьте 5 на 8.

$$40x^{2}-71x+21=40\times \frac{\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)}{40}$$

Сократите наибольший общий делитель 40 в 40 и 40.

$$40x^{2}-71x+21=\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Вычислить

$$\left(5x-7\right)\left(8x-3\right)$$