Решить 4z^2+60z=800

$$4 z ^ { 2 } + 60 z = 800$$

Найдите z

$$z = \frac{5 \sqrt{41} - 15}{2} \approx 8,507810594$$

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}\approx -23,507810594$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4z^{2}+60z=800$$

Вычтите 800 из обеих частей уравнения.

$$4z^{2}+60z-800=800-800$$

Если из 800 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4z^{2}+60z-800=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, 60 вместо b и -800 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Возведите 60 в квадрат.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 4\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600-16\left(-800\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{3600+12800}}{2\times 4}$$

Прибавьте 3600 к 12800.

$$z=\frac{-60±\sqrt{16400}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 16400.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8}$$

Решите уравнение z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -60 к 20\sqrt{41}.

$$z=\frac{20\sqrt{41}-60}{8}$$

Разделите -60+20\sqrt{41} на 8.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2}$$

Решите уравнение z=\frac{-60±20\sqrt{41}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 20\sqrt{41} из -60.

$$z=\frac{-20\sqrt{41}-60}{8}$$

Разделите -60-20\sqrt{41} на 8.

$$z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Уравнение решено.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+60z=800$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4z^{2}+60z}{4}=\frac{800}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$z^{2}+\frac{60}{4}z=\frac{800}{4}$$

Разделите 60 на 4.

$$z^{2}+15z=\frac{800}{4}$$

Разделите 800 на 4.

$$z^{2}+15z=200$$

Разделите 15, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{15}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{15}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$z^{2}+15z+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=200+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{15}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=200+\frac{225}{4}$$

Прибавьте 200 к \frac{225}{4}.

$$z^{2}+15z+\frac{225}{4}=\frac{1025}{4}$$

Разложите z^{2}+15z+\frac{225}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{1025}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(z+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1025}{4}}$$

Упростите.

$$z+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{41}}{2} z+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{41}}{2}$$

Вычтите \frac{15}{2} из обеих частей уравнения.

$$z=\frac{5\sqrt{41}-15}{2} z=\frac{-5\sqrt{41}-15}{2}$$