Решить 4y^2-56y=108

$$4 y ^ { 2 } - 56 y = 108$$

Найдите y

$$y=2\sqrt{19}+7\approx 15,717797887$$

$$y=7-2\sqrt{19}\approx -1,717797887$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$4y^{2}-56y=108$$

Вычтите 108 из обеих частей уравнения.

$$4y^{2}-56y-108=108-108$$

Если из 108 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$4y^{2}-56y-108=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 4 вместо a, -56 вместо b и -108 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{\left(-56\right)^{2}-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Возведите -56 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-4\times 4\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -4 на 4.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136-16\left(-108\right)}}{2\times 4}$$

Умножьте -16 на -108.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{3136+1728}}{2\times 4}$$

Прибавьте 3136 к 1728.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±\sqrt{4864}}{2\times 4}$$

Извлеките квадратный корень из 4864.

$$y=\frac{-\left(-56\right)±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Число, противоположное -56, равно 56.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8}$$

Решите уравнение y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 56 к 16\sqrt{19}.

$$y=\frac{16\sqrt{19}+56}{8}$$

Разделите 56+16\sqrt{19} на 8.

$$y=2\sqrt{19}+7$$

Решите уравнение y=\frac{56±16\sqrt{19}}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 16\sqrt{19} из 56.

$$y=\frac{56-16\sqrt{19}}{8}$$

Разделите 56-16\sqrt{19} на 8.

$$y=7-2\sqrt{19}$$

Уравнение решено.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$4y^{2}-56y=108$$

Разделите обе части на 4.

$$\frac{4y^{2}-56y}{4}=\frac{108}{4}$$

Деление на 4 аннулирует операцию умножения на 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{56}{4}\right)y=\frac{108}{4}$$

Разделите -56 на 4.

$$y^{2}-14y=\frac{108}{4}$$

Разделите 108 на 4.

$$y^{2}-14y=27$$

Деление -14, коэффициент x термина, 2 для получения -7. Затем добавьте квадрат -7 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}-14y+\left(-7\right)^{2}=27+\left(-7\right)^{2}$$

Возведите -7 в квадрат.

$$y^{2}-14y+49=27+49$$

Прибавьте 27 к 49.

$$y^{2}-14y+49=76$$

Коэффициент y^{2}-14y+49. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-7\right)^{2}=76$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y-7\right)^{2}}=\sqrt{76}$$

Упростите.

$$y-7=2\sqrt{19} y-7=-2\sqrt{19}$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$y=2\sqrt{19}+7 y=7-2\sqrt{19}$$